সবার জন্য বিন্যাস সমাবেশ (পর্ব-৭) | গণিত ইশকুল

আজ আমরা বিন্যাসসংখ্যা বের করার জন্য নতুন কয়েকটা কৌশল দেখব যেগুলো জানা আমাদের জন্য খুবই জরুরি। তাহলে আর দেরি না করে চলো শুরু করা যাক।

আগের সমস্যাগুলোয় আমরা দেখেছিলাম কোনো বিন্যাসসংখ্যা বের করার সময় আমাদের কাছে সবকটি ভিন্ন অক্ষর বা অঙ্ক ছিল। একই অঙ্ক দুইবার বা তার বেশি ছিল না। কিন্তু এ রকম তো সব সময় হয় না। বাস্তব জীবনে একই জিনিস তো অনেক বার থাকতে পারে। সে ক্ষেত্রে কীভাবে করব? ধরো, তোমার কাছে {১, ১, ২} আছে। এখন এই তিনটি অঙ্ক ব্যবহার করে তিন অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা বানানো যাবে? দেখো, এখানে যদি {১, ২, ৩} এ রকম হতো, তাহলে কিন্তু আমরা বলতে পারতাম ৩! = ৬টি সংখ্যা বানানো যাবে। এর কারণ আমরা আগের ক্লাসগুলোয় শিখেছি। এবার দেখো, এখানে যেহেতু {১, ১, ২} আছে, তার মানে ১ ও ১ এর মধ্যে জায়গা পরিবর্তন করলে নতুন কোনো সংখ্যা তৈরি হচ্ছে না। তাহলে ১ ও ১ এর মধ্যে জায়গা পরিবর্তনের মাধ্যমে যতগুলো সংখ্যা হতো, (এখানে ২!টি সংখ্যা পেতাম) এদের পরিবর্তে এখন শুধু ১টি হচ্ছে। এখন তাহলে মনে করি {১, ১, ২} দিয়ে “ক”টি সংখ্যা বানানো যাবে। যেহেতু প্রত্যেক ২! এর

জায়গায় ১টি করে পাচ্ছি, তার মানে আমাদের মোট বিন্যাস (৩!) থেকে এখানে ২! গুণ কম পাওয়া যাবে। তার মানে “ক”=৩!/২!

এবার যদি বলি {১, ১, ১, ২, ৩} এদের দিয়ে পাঁচ অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে? এখানে যদি তিনটি ১ না থেকে তিনটি ভিন্ন সংখ্যা থাকত, যেমন {১, ৪, ৫, ২, ৩} তাহলে আমরা বলতে পারতাম ৫!টি সংখ্যা হবে। এখানে যেহেতু তিনটি ১ আছে, তাহলে এদের মধ্যের পরিবর্তনগুলো কিন্তু আমাদের আর নতুন কোনো সংখ্যা দিচ্ছে না। এদের মধ্যে যেহেতু ৩!ভাবে জায়গা পরিবর্তন সম্ভব, কিন্তু এই ৩!গুলোর সবকটি সংখ্যা কেবল ১টি হিসাবে বিবেচিত হবে। তাই আমরা সবকটি ভিন্ন ভিন্ন হলে যতগুলো হতো, তার চেয়ে ৩! গুণ কম পাব। অন্যভাবে বললে আমাদের এখন বিন্যাসসংখ্যা হবে ৫!/৩!। তাহলে তোমরা হয়তো এতক্ষণে বুঝতে পেরেছ, যতগুলো এক রকম থাকে, তত ফ্যাক্টরিয়াল দিয়ে ভাগ হবে।

এবার বলো, {২, ৩, ৩, ৩, ৩, ৪, ৫} সংখ্যাগুলো দিয়ে ৭ অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে? এটার উত্তর হবে ৭!/৪! কারণটিও হয়তো বুঝতে পেরেছ। এবার তাহলে আসা যাক একটু ভিন্নভাবে।

{১, ১, ২, ২, ২, ৩} এই অঙ্কগুলো দিয়ে ৬ অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

এই সমস্যাটা আগের মতোই। এখানে তুমি একটু মনে করো যে প্রথম ১ দুইটা একই না হয়ে যদি ভিন্ন হতো, তাহলে কতভাবে করা যাবে? এ ক্ষেত্রে উত্তর হচ্ছে ৬!। তার মানে প্রথম ১ দুইটা একই হলে ৬!/২! সংখ্যক সংখ্যা তৈরি করা যাবে। এবার যেহেতু ২ আছে তিনটি, এরা আসলে একই। তাহলে এরা ভিন্ন হলে যতগুলো সংখ্যা বানানো যেত

এখন এর চেয়ে ৩! গুণ কম হবে অর্থাৎ

৬!/(২!৩!)টি সংখ্যা বানানো যাবে।

তাহলে দেখো তো আসলে কী হচ্ছে ব্যাপারটা? যতগুলো একজাতীয় থাকে, তাদের আলাদা আলাদা ফ্যাক্টরিয়াল দিয়ে ভাগ করতে হয়। আমরা যদি এভাবে বলি, তোমার কাছে মোট n সংখ্যক বস্তু আছে, যেখানে n₁ সংখ্যক সবাই একজাতীয়, n₂ সংখ্যক সবাই অন্য আরেক জাতীয়, …. n_k সংখ্যক সবাই আরেকজাতীয়, আর বাকি যারা আছে তারা প্রত্যেকে ভিন্ন, তাহলে এদের সবাইকে নিয়ে মোট যতগুলো বিন্যাস করা যাবে, সেটি হচ্ছে ​​ n ! _ n₁ ! n₂ ! . ..n_k ! ​ ।​

আশা করি এটুকু পর্যন্ত তোমরা বুঝে গেছ। এবার তাহলে আরেকটু নতুন কিছু চিন্তা করি। ধরো, তোমার কাছে ৫টি ভিন্ন ভিন্ন রঙের মার্বেল আছে। লাল, হলুদ, সবুজ, বেগুনি, নীল। এখন যদি প্রশ্ন করি, তুমি এদের এক লাইনে রেখে কতগুলো ভিন্নভাবে সাজাতে পারবে? এতক্ষণে এর উত্তর তুমি বের করা শিখে গেছ। এ ক্ষেত্রে উত্তর ৫!।