সবার জন্য বিন্যাস সমাবেশ (পর্ব-৫) | গণিত ইশকুল

গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি

আসুন আজ আমরা আরও কিছু মজার জিনিস শিখি, যার মাধ্যমে আমরা কঠিন হিসাব সহজেই বের করতে পারব। ধরুন, আপনাকে প্রশ্ন করা হলো ২০০০–এর কতগুলো উৎপাদক আছে? আপনি কীভাবে করবেন? ১ থেকে ২০০০ পর্যন্ত সব সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে করে দেখবেন? যে কোনটা কোনটা দিয়ে ভাগ যায়? অবশ্যই চাইলে দেখতে পারেন এবং এভাবে করে উত্তরও বের করা সম্ভব, কিন্তু এতে আপনার অনেক সময় লাগবে। সংখ্যা আরও বড় দিলে সময় কয়েক গুণ বেড়ে যাবে। তাহলে কথা হচ্ছে কীভাবে করবেন? প্রথমেই ২০০০ কে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসাবে লিখতে হবে। মৌলিক সংখ্যা কী জিনিস, আশা করি সবাই জানেন। তাহলে ২০০০ কে লেখা যায় ​​

২​​^৪​ × ​৫​​^৩​​ অর্থাৎ ২০০০=​​২​​^৪​ × ​৫​​^৩​​

এখন দেখুন আপনি কোন সংখ্যাগুলোকে ২০০০–এর উৎপাদক বলবেন? ওই সব সংখ্যাকেই বলবেন, যারা ২০০০ কে নিঃশেষে ভাগ করে। এখনে দেখাই যাচ্ছে ২০০০ কে ভাগ করার জন্য কোনো সংখ্যার মধ্যে গুণ হিসাবে শুধু ২ অথবা ৫ থাকতে পারবে, অন্য কোনো সংখ্যা গুণ হিসাবে থাকলে সেটি আর ২০০০–এর উৎপাদক হবে না । যেমন ২×৩ সংখ্যাটি ২০০০ কে নিঃশেষে ভাগ করে না কারণ, ৩ দিয়ে ভাগ যাওয়ার মতো কোনো সংখ্যা ২০০০–এর মধ্যে গুণ হিসাবে নেই। তাহলে আমরা এটা বলতেই পারি, ওই সব সংখ্যাই ২০০০–এর উৎপাদক হবে, যাদের মধ্যে গুণ হিসাবে ২ অথবা ৫ আছে। আবার ২ সর্বোচ্চ ৪টি থাকতে পারবে এবং ৫ সর্বোচ্চ থাকতে পারবে ৩টি। তাহলে ব্যাপারটি এ রকম দাঁড়াল যে ২০০০–এর উৎপাদকগুলো হবে ২, ২×২, ২×৫, ২×২×৫, ২×২×২×২×৫×৫ এ রকম যতভাবে সংখ্যা বানানো যায় যেখানে ২ সর্বোচ্চ ৪ বার গুণ হবে আর ৫ সর্বোচ্চ ৩ বার গুণ হবে। তাহলে এবার চিন্তা করুন, এ রকম কতগুলো সংখ্যা বানানো সম্ভব?

চলুন বিন্যাসের সহজ ফর্মুলা দিয়ে এই কঠিন সমস্যাটির সমাধান করে ফেলি। এভাবে চিন্তা করুন যে আপনি ২০০০–এর কোনো একটা উৎপাদক বানানোর সময় কতগুলো ২ গুণ হিসাবে নেবেন আর কতগুলো ৫ গুণ হিসাবে নেবেন? দেখুন, আপনি চাইলে ০, ১, ২, ৩, ৪–এর যেকোনো সংখ্যক ২ নিতে পারেন, এখনে ০টি ২ ও নিতে পারেন কারণ, আপনি চাইলে ২ কে গুণ হিসাবে না নিয়েও ২০০০–এর উৎপাদক বানাতে পারবেন, সুতরাং ২–এর জন্য অপশন আছে ৫টি। একইভাবে ৫ নিতে পারবেন ০, ১, ২, ৩টি, তাহলে ৫–এর জন্য অপশন আছে ৪টি। তাহলে মোট উৎপাদক বানানো যাবে ৫×৪=২০টি। এখানে দেখুন ২০০০–এর মৌলিক সংখ্যার ফ্যাক্টরে ২–এর ঘাত (পাওয়ার) ছিল ৪, তাই ২–এর জন্য অপশন হয়েছে (৪+১)=৫টি আর ৫–এর ঘাত (পাওয়ার) ছিল ৩, তাই এর জন্য অপশন (৩+১)=৪টি।

তাহলে এখন থেকে আমরা সূত্র হিসাবে বলতে পারি যে কোনো সংখ্যা যদি

​N = ​​P​₁​​​​ ​^a1​​​​× ​​P​₂​​​​ ​^a​2​​​ × ... × ​​P​_n​​​​ ​^an​​​ হয় যেখানে

​​P​₁ ​​, ​P​₂ ​​... ​P​_n​​​ মৌলিক সংখ্যা। তাহলে ওই সংখ্যার উৎপাদক হবে মোট

(​​​a​₁​​ + 1​)​​×​(​​ ​a​₂​​ + 1​)​​× ... × ​(​​ ​a​_n​​ + 1​)​​ ​​ টি।

আশা করি এখন থেকে উৎপাদক বের করতে আর সমস্যা হবে না। আপনাদের জন্য একটি প্রব্লেম রেখে যাচ্ছি: সব থেকে ছোট সংখ্যাটি বের করুন, যার উৎপাদক সংখ্যা ২০২২টি।

পরবর্তী পর্বে আমরা আরও কিছু মজার সমস্যা নিয়ে কথা বলব, এত দিন পর্যন্ত সবাই ভালো থাকবেন, ধন্যবাদ লেখাটি পড়ার জন্য।